• nbc2010
    nbc2010
  • img_9895
    img_9895
  • vcm77
    vcm77
  • banner_trao-tang-giai-tuong-tqb
    banner_trao-tang-giai-tuong-tqb
  • gapmat2016
    gapmat2016
  • olympic2016
    olympic2016
  • img_9050
    img_9050

Đề thi & Đáp án môn Giải tích - Bảng A

Viết bởi  Đọc 7651 lần

Bài A.1. Cho \((u_n)_{n=1}^{\infty}\) là dãy số được xác định bởi các điều kiện

\[u_1=a,\; u_{n+1}={u_n}^2-u_n+1,\quad \forall n\ge 1.\]

1. Tìm tất cả các giá trị thực của \(a\) để dãy số \((u_n)_{n=1}^{\infty}\) hội tụ.

2. Tìm giới hạn của dãy số đó khi nó hội tụ.

Bài A.2. Phần nguyên của số thực \(x\) được định nghĩa là số nguyên lớn nhất không vượt quá \(x\), và được kí hiệu là \([x]\). Hiệu \(x-[x]\) được gọi là phần lẻ của \(x\), và được kí hiệu là \(\{ x\}\).

Giả sử \(a\), \(b\) là các số thực dương và \(n\) là số tự nhiên. Chứng minh rằng

\[\underset{n\to\infty}{\lim}\left(a\{ nb\} +b\{ na\}\right) =0\]

khi và chỉ khi \(a\) và \(b\) là các số nguyên.

 

Bài A.3. Cho \(a\geq 1\) là một số thực và \(f:\mathbb R \to\mathbb R\) là một hàm số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

\(\bullet\) \(\left(f(ax)\right)^2\le a^3x^2f(x)\) với mọi số thực \(x\);

\(\bullet\) \(f\) bị chặn trên trong một lân cận nào đó của \(0\).

Chứng minh rằng \(\left|f(x)\right|\le\dfrac{x^2}{a}\) với mọi số thực \(x\).

 

Bài A.4. Cho \(f:\mathbb R \to\mathbb R\) là một hàm số khả vi vô hạn lần và thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

\[f(0)f'(0)\ge 0,\quad \underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=0.\]

1. Chứng minh rằng tồn tại một dãy số \(\left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}\) tăng ngặt và không âm sao cho \[f^{(n)}(x_n)=0\]với mọi số nguyên dương \(n\) (trong đó, \(f^{(n)}\) kí hiệu đạo hàm cấp \(n\) của \(f\)).

2. Tồn tại hay không một hàm số \(f\) thỏa mãn mọi yêu cầu của đề bài và không đồng nhất bằng 0?

 

Bài A.5. Với mỗi số thực \(0<\alpha\ne 1\), gọi \(f_{\alpha}\) là hàm số được xác định trên khoảng \((1,\infty)\) bởi công thức

\[f_{\alpha}(x)=\int_x^{x^{\alpha}}\dfrac{\text{d}t}{\ln t}\quad(\forall x>1).\]

1. Chứng minh rằng \(f_{\alpha}\) là một phép đồng phôi, tức là một song ánh liên tục, từ khoảng \((1,\infty)\) lên một khoảng \(I_{\alpha}\subset\mathbb R\) nào đó sao cho ánh xạ ngược \(f_{\alpha}^{-1}:I_{\alpha}\to (1,\infty)\) cũng liên tục.

2. Tìm \(I_{\alpha}\).

 

 

 

ĐÁP ÁN: xem ở đây

Đánh giá
(0 phiếu)
Sửa lần cuối vào Thứ hai, 25 Tháng 4 2016 15:05

TIN TỨC

Has no content to show!

Olympic Toán học

Has no content to show!

HỘI NGHỊ - HỘI THẢO

Has no content to show!

KHÓA HỌC

Has no content to show!

XUẤT BẢN

Has no content to show!