Print trang này

Đề thi & Đáp án ngày 1 - Học sinh PTTH

Viết bởi  Đọc 11043 lần

CHỦ ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC MARKOV

Thời gian làm bài: 180 phút

 

Mục tiêu của bài thi này là tìm hiểu một số trường hợp riêng của định lý Markov:

nếu \(P(x)\) là một đa thức với hệ số thực và có bậc không vượt quá \(n\) thì

\[\underset{|x|\le 1}{\max}|P'(x)|\le n^2\underset{|x|\le 1}{\max}|P(x)|.\]

Chứng minh của định lý Markov vượt quá chương trình toán THPT. Ta sẽ tìm cách chứng minh những trường hợp riêng khi \(n\le 3\) của định lý và khảo sát một số bài toán xung quanh các trường hợp đó.

 

Trong các bài toán dưới đây, biến số \(x\) chỉ nhận giá trị thực.

 

A. Bất đẳng thức Markov cho đa thức bậc nhất

 

Bài PT.1. Giả sử \(a,b\) là hai số thực sao cho \(|ax+b|\le 1\) khi \(|x|\le 1\). Chứng minh rằng

(i) \(|a|\le 1\).

(ii) \(|bx+a|\le 1\) khi \(|x|\le 1\).

 

B. Bất đẳng thức Markov cho các đa thức bậc hai và bậc ba

 

Bài PT.2. Giả sử \(a,b,c\) là ba số thực sao cho các giá trị của đa thức \(ax^2+bx+c\) tại \(1,0, -1\) đều thuộc đoạn \([-1,1]\).

(i) Chứng minh rằng \(|2ax+b|\le 4\) khi \(|x|\le 1\).

(ii) Chứng minh rằng \(|cx^2+bx+a|\le 2\) khi \(|x|\le 1\).

 

Bài PT.3. Giả sử \(a,b,c,d\) là bốn số thực sao cho các giá trị \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) của đa thức \(ax^3+bx^2+cx+d\) tương ứng tại \(-1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\) đều thuộc đoạn \([-1,1]\).

(i) Chứng minh rằng với mọi số thực \(A, B\), ta có đẳng thức \(|A +B|+|A -B|=2\max\{|A|,|B|\}\).

(ii) Bằng cách biểu diễn \(3ax^2 + 2bx+c\) theo \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) và \(x\), hãy chứng minh rằng \(|3ax^2+2bx+c|\le 9\) khi \(|x|\le 1\).

(iii) Chứng minh rằng \(|dx^3+cx^2+bx+a|\le 4\) khi \(|x|\le 1\).

 

C. Hai bất đẳng thức khác cho các tam thức

 

Bài PT.4. Cho \(a,b,c\) là ba số thực và \(n\) là một số nguyên dương. Giả sử đa thức \(f(x)=ax^{2n}+bx+c\) có các giá trị tại \(1, 0, -1\) đều thuộc đoạn \([-1, 1]\). Chứng minh rằng:

(i) \(|f(x)|\le \dfrac{2n-1}{\sqrt[2n-1]{4^nn^{2n}}}+1\) khi \(|x|\le 1\).

(ii) Với mỗi \(1\le M<\infty\), ta có \(|f(x)|\le 2M^{2n}-1\) khi \(1\le |x|\le M\).

 

 

ĐÁP ÁN: xem ở đây

Đánh giá
(0 phiếu)
Sửa lần cuối vào Thứ hai, 25 Tháng 4 2016 14:50
Đoàn Trung Cường

Tin mới nhất từ