Bài B.2. Cho $\alpha$ là một số thực và $f:[0,1]\to\mathbb R $ là hàm số được xác định bởi công thức

$$f(x)=\begin{cases} x^{\alpha}\sin\frac{1}{x}&\mbox{ nếu }x \ne 0,\\ 0&\mbox{ nếu } x=0.\end{cases}$$

Chứng minh các khẳng định sau:

1. $f$ liên tục nếu và chỉ nếu $\alpha >0$.

2. $f$ khả vi nếu và chỉ nếu $\alpha >1$.

3. $f$ khả vi liên tục nếu và chỉ nếu $\alpha >2$.

Bài B.3. Cho $a\geq 1$ là một số thực và $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R $ là một hàm số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

(i) $\left(f(ax)\right)^2\le a^3x^2f(x)$ với mọi số thực $x$;

(ii) $f$ bị chặn trên trong khoảng $(-1,1)$.

Chứng minh rằng $\left|f(x)\right|\le\dfrac{x^2}{a}$ với mọi số thực $x$.

Bài B.4. Giả sử $f:\mathbb R \to\mathbb R $ là một hàm số khả vi liên tục hai lần và thỏa mãn điều kiện

$$\underset{|x|\to +\infty}{\lim}\dfrac{f(x)}{x}=0.$$

Chứng minh rằng phương trình $f""(x)=0$ có ít nhất một nghiệm.

Bài B.5. Cho $f: (1,\infty)\to\mathbb R$ là hàm được xác định bởi công thức

$$f(x)=\int_{\sqrt x}^x\dfrac{\text{d}t}{\ln t}\quad(\forall x>1).$$

Hãy tìm tập tất cả các giá trị của $f$.

ĐÁP ÁN: xem ở đây